一、NSGA算法简介
非支配排序遗传算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm，NSGA）是将遗传算法的种群个体按照它们的优先级进行分类排序，使得较优的个体能够被更好地保存下来，同时保留种群中的多样性。它首先通过非支配排序将种群分为多个层级，然后在每一层级中根据拥挤度算法对个体进行排序，以维护每一个层级中的多样性。
下面是一段使用NSGA算法进行多目标优化的Python示例代码：
def nsga(population, generations, crossover_rate, mutation_rate):
for gen in range(generations):
offspring = []
for i in range(len(population)):
# 选择两个父代
parent1 = selection(population)
parent2 = selection(population)
# 对两个父代进行杂交
child = crossover(parent1, parent2, crossover_rate)
# 对后代进行变异操作
child = mutation(child, mutation_rate)
# 将后代添加到下一代种群中
offspring.append(child)
# 合并父代和后代种群
population = population + offspring
# 对种群进行非支配排序和拥挤度排序
fronts = non_dominated_sorting(population)
sorted_population = sort_by_crowding_distance(population, fronts)
# 选择下一代种群
population = sorted_population[:len(population)]
return population
二、NSGA算法的非支配排序
NSGA算法的关键在于如何对种群进行非支配排序。给定一组个体，非支配排序将它们分为多个层级，每一层级中的个体都是相对于同一层级中的其他个体来说非支配的。具体步骤如下：
1、计算每一个个体的支配关系，即如果一个个体在某一个目标函数上比另一个个体更好，则该个体支配另一个个体。
2、根据支配关系得到第一层级中的非支配解集合，同时将支配第一层级中的个体进行标记。
3、重复地对每一层级进行处理，直到没有非支配解为止。在处理每一层级时，需要将上一层级中所有被标记的个体排除，并将下一层级中所有新加入的非支配解通过拥挤度算法进行排序，以避免个体聚拢。
下面是非支配排序的代码实现：
def non_dominated_sorting(population):
fronts = []
n = [0]*len(population)
rank = [0]*len(population)
S = [[] for i in range(len(population))]
fronts.append([])
for p in range(len(population)):
S[p] = []
n[p] = 0
for q in range(len(population)):
if population[p].dominates(population[q]):
S[p].append(q)
elif population[q].dominates(population[p]):
n[p] = n[p] + 1
if n[p] == 0:
rank[p] = 0
fronts[0].append(p)
i = 0
while len(fronts[i]) != 0:
Q = []
for p in fronts[i]:
for q in S[p]:
n[q] = n[q] - 1
if n[q] == 0:
rank[q] = i + 1
Q.append(q)
i += 1
fronts.append(Q)
return fronts[:-1]
三、NSGA算法的拥挤度排序
在计算完每个个体的非支配级别之后，我们需要对每层内的个体进行排序，以便于选择个体生成下一代种群。通常使用拥挤度距离来实现排序，拥挤度表示一个个体周围有多少个个体与其距离相似。在选择下一代种群时，我们希望不仅保留靠前的非支配解，还要尽可能多地保留多样性。因此，当选择靠前的非支配解时，我们倾向于选择拥挤度高的个体，这些个体周围有很多其他个体，说明它们距离其他个体比较远，因此保留它们能够维护多样性。
下面是拥挤度排序的代码实现：
def crowding_distance_assignment(population):
n = len(population)
for individual in population:
individual.crowding_distance = 0
for m in range(len(population[0].fitness)):
sorted_population = sorted(population, key=lambda x: x.fitness[m])
sorted_population[0].crowding_distance = sorted_population[n-1].crowding_distance = inf
for i in range(1, n-1):
sorted_population[i].crowding_distance += sorted_population[i+1].fitness[m] - sorted_population[i-1].fitness[m]
for individual in population:
individual.crowding_distance /= len(population)
四、NSGA算法的应用举例
下面是一段使用NSGA算法进行多目标优化的Python示例代码，通过调整链表的长度和宽度来优化链表的布局效果：
class LayoutIndividual:
def __init__(self, length, width):
self.length = length
self.width = width
self.fitness = []
def evaluate_fitness(self):
# 计算适应度
self.fitness = [self.length, self.width]
def dominates(self, other):
# 判断支配关系
return self.length <= other.length and self.width <= other.width and (self.length < other.length or self.width < other.width)
def layout_optimization(objective_functions, max_generations):
# 初始化种群
population = [LayoutIndividual(randint(1, 10), randint(1, 10)) for i in range(30)]
for gen in range(max_generations):
# 计算适应度
for individual in population:
individual.evaluate_fitness()
# 对种群进行非支配排序和拥挤度排序
fronts = non_dominated_sorting(population)
for i, front in enumerate(fronts):
crowding_distance_assignment(front)
for j, individual in enumerate(front):
individual.rank = i
individual.distance = individual.crowding_distance
# 选择下一代种群
next_population = []
for i in range(30):
p1 = random.choice(population)
p2 = random.choice(population)
child = LayoutIndividual(p1.length, p2.width)
next_population.append(child)
population = next_population
return population
