一、什么是hierarchical softmax

hierarchical softmax 是一种用于优化神经网络中 softmax 函数计算速度的方法。在传统的 softmax 函数中，需要对每个候选类别计算概率，这导致计算量呈指数级增长。Huffman 树是一种二叉树结构，旨在通过分配更短的编码来最小化字符编码的平均长度。基于 Huffman 树，hierarchical softmax 可以将 softmax 计算复杂度减少为 O(log(n))，其中 n 是类别总数。 在 hierarchical softmax 中，所有可能的输出类别都被视为二叉树的节点。每个节点都有一段唯一的编码。在推断时，softmax 操作沿着树从根节点开始移动，直到找到输出节点并计算对应的概率。 通俗地理解，hierarchical softmax 可以看作是将原本 softmax 中的每个类别映射为一个节点，然后用二叉树的形式展示。每个节点都可以得到一个唯一的 binary code。在实际中，用 hierarchical softmax 代替传统 softmax 可以大幅度地减少参数大小和模型复杂度，从而加速模型训练和推理。

二、hierarchical softmax 的优点

1. 减少模型参数：hierarchical softmax 通过二叉树结构来组织类别标签，有效降低了 softmax 的计算复杂度。相应的，也能减少模型的参数数量和计算时间。
2. 更快的训练和推理速度：传统 softmax 方法需要计算每个输出类别的概率值，而 hierarchical softmax 只需要向下遍历 Huffman 树即可。因此，hierarchical softmax 可以显著减少计算量，提高训练和推理效率。
3. 适合处理大规模分类问题：由于传统的 softmax 方法需要计算所有可能的类别的概率值，因此对于大规模分类问题计算量过大，而 hierarchical softmax 可以在常规硬件设备上处理上百万个类别的分类问题。

三、如何使用 hierarchical softmax

在 tensorflow 中，可以通过设置 softmax_weights 和 softmax_biases 的参数实现 hierarchical softmax。先用一个 batch 对模型进行一次 forward，通过实例化 HuffmanTree 类，将训练数据传入。创建完成 Huffman 树后，即可计算对应节点的编码和概率值。

import tensorflow as tf
from tensorflow.contrib.framework import nest
from tensorflow.contrib.rnn import LSTMStateTuple
from tensorflow.python.ops.rnn import dynamic_rnn
logit = tf.contrib.layers.fully_connected(
    inputs=last_outputs,
    num_outputs=output_dimension,
    activation_fn=None,
    weights_initializer=tf.truncated_normal_initializer(stddev=1e-4),
    biases_initializer=tf.zeros_initializer(),
    scope='hierarchical_softmax_logit'
)
# create a softmax weight matrix for each branch
hierarchical_softmax_weights = [tf.Variable(
    tf.truncated_normal([branch_size, output_dimension], stddev=1e-4),
    name="hierarchical_softmax_weights_%d" % i)
for i, branch_size in enumerate(huffman_tree.branch_sizes)]
# split the variables into a list for each branch
hierarchical_softmax_weights_branches = nest.pack_sequence_as(
    structure=huffman_tree.branch_sizes,
    flat_sequence=hierarchical_softmax_weights)
# compute the logits for each branch
logits = nest.map_structure(
    lambda w: tf.matmul(last_outputs, w, transpose_b=True),
    hierarchical_softmax_weights_branches)
# induce a softmax on them
softmaxes = nest.map_structure(
    lambda l: tf.nn.softmax(l, dim=1),
    logits)
# assign unique paths from the root node to all of the leafs
hierarchical_paths = huffman_tree.paths()
# get the full word embeddings for each unique word in the tree
full_embeddings = tf.gather(
    params=full_embeddings,
    indices=huffman_tree.word_ids())
weights_t = tf.transpose(hierarchical_softmax_weights_branches, [1, 0, 2])
weights_flat = tf.reshape(weights_t, [-1, output_dimension])
biases_flat = tf.Variable(
    tf.zeros([tf.reduce_sum(huffman_tree.branch_sizes)]),
    name="hierarchical_softmax_biases")
hierarchical_softmax_biases_branches = tf.split(
    biases_flat, huffman_tree.branch_sizes)
biases = nest.pack_sequence_as(
    structure=hierarchical_softmax_weights_branches,
    flat_sequence=hierarchical_softmax_biases_branches)
l_prods = nest.map_structure(
    lambda s, l: tf.matmul(l, s, transpose_b=True), hierarchical_paths, softmaxes)
prods = tf.reduce_prod(l_prods, axis=0)
dot = tf.matmul(full_embeddings, weights_flat, transpose_b=True)
z = tf.add(dot, biases_flat)
pred = tf.multiply(z, prods)
prediction = tf.nn.softmax(pred, 1)
loss = tf.losses.sparse_softmax_cross_entropy(labels=labels, logits=pred)

四、hierarchical softmax 的局限性和应用

1. 局限性：由于 hierarchical softmax 是依靠 Huffman 树构建的，因此其对类别分布的偏置和采样方式较为敏感。在类别分布不均衡的情况下，Huffman 树的构建往往会是非常非常慢，甚至不可用。
2. 应用：hierarchical softmax 在大规模分类问题中表现出了优异的性能。例如，可以通过构建超大型的分类词典以实现高级的文本语言建模。hierarchical softmax 也可以用于其他类型的分类问题，例如多标签分类。

五、小结

hierarchical softmax 是一种用于提高 softmax 计算速度的算法。相比传统 softmax，改进方案通过构建 Huffman 树，将分类问题以一种更加简洁的方式来展示。在大规模分类问题中，hierarchical softmax 是一种值得尝试的算法。