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Shamir的(t，n)密钥共享门限方案
既然t=4，你一个2次多项式肯定是不对的，需要一个3次多项式。正确答案应该是k=13+x+2x^3
如何用C语言实现RSA算法
RSA算法它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。
RSA算法 :
首先, 找出三个数, p, q, r, 其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数 p, q, r 这三个数便是 private key 接着, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1) 这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了 再来, 计算 n = pq m, n 这两个数便是 public key 编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n 如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s = n, 通常取 s = 2^t), 则每一位数均小于 n, 然后分段编码 接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n), b 就是编码后的资料 解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq), 于是乎, 解码完毕 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :) 如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b 他如果要解码的话, 必须想办法得到 r 所以, 他必须先对 n 作质因数分解 要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q, 使第三者作因数分解时发生困难
定理
若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1), a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq, 则 c == a mod pq 证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下: m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m (换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m) 运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的
证明
因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数 因为在 modulo 中是 preserve 乘法的 (x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z), 所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq
- 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时, 则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q 所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1 即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq
- 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时, 则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q => q | c - a 因 p | a => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p => p | c - a 所以, pq | c - a => c == a mod pq
- 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上
- 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时, 则 pq | a => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq => pq | c - a => c == a mod pq Q.E.D. 这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq) 但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n, 所以这就是说 a 等于 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能
RSA 的安全性
RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前，RSA的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解多个十进制位的大素数。因此，模数n必须选大一些，因具体适用情况而定。
RSA的速度
由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上倍，无论是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。
RSA的选择密文攻击
RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信息作一下伪装(Blind)，让拥有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘法结构： ( XM )^d = X^d * M^d mod n 前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征--每个人都能使用公钥。但从算法上无法解决这一问题，主要措施有两条：一条是采用好的公钥协议，保证工作过程中实体不对其他实体任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息签名；另一条是决不对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用One-Way Hash Function 对文档作HASH处理，或同时使用不同的签名算法。在中提到了几种不同类型的攻击方法。
RSA的公共模数攻击
若系统中共有一个模数，只是不同的人拥有不同的e和d，系统将是危险的。最普遍的情况是同一信息用不同的公钥加密，这些公钥共模而且互质，那末该信息无需私钥就可得到恢复。设P为信息明文，两个加密密钥为e1和e2，公共模数是n，则： C1 = P^e1 mod n C2 = P^e2 mod n 密码分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。 因为e1和e2互质，故用Euclidean算法能找到r和s，满足： r * e1 + s * e2 = 1 假设r为负数，需再用Euclidean算法计算C1^(-1)，则 ( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n 另外，还有其它几种利用公共模数攻击的方法。总之，如果知道给定模数的一对e和d，一是有利于攻击者分解模数，一是有利于攻击者计算出其它成对的e’和d’，而无需分解模数。解决办法只有一个，那就是不要共享模数n。 RSA的小指数攻击。 有一种提高 RSA速度的建议是使公钥e取较小的值，这样会使加密变得易于实现，速度有所提高。但这样作是不安全的，对付办法就是e和d都取较大的值。 RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何，而且密码学界多数人士倾向于因子分解不是NPC问题。 RSA的缺点主要有： A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。 B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。目前，SET( Secure Electronic Transaction )协议中要求CA采用比特长的密钥，其他实体使用比特的密钥。
C语言实现
#include stdio.h
int candp(int a,int b,int c)
{
int r=1;
b=b+1;
while(b!=1)
{
r=r*a;
r=r%c;
b--;
}
printf("%d\n",r);
return r;
}
void main()
{
int p,q,e,d,m,n,t,c,r;
char s;
printf("please input the p,q: ");
scanf("%d%d",&p,&q);
n=p*q;
printf("the n is %3d\n",n);
t=(p-1)*(q-1);
printf("the t is %3d\n",t);
printf("please input the e: ");
scanf("%d",&e);
if(e<=1||e>=t)
{
printf("e is error,please input again: ");
scanf("%d",&e);
}
d=1;
while(((e*d)%t)!=1) d++;
printf("then caculate out that the d is %d\n",d);
printf("the cipher please input 1\n");
printf("the plain please input 2\n");
scanf("%d",&r);
switch(r)
{
case 1: printf("input the m: "); /*输入要加密的明文数字*/
scanf("%d",&m);
c=candp(m,e,n);
printf("the cipher is %d\n",c);break;
case 2: printf("input the c: "); /*输入要解密的密文数字*/
scanf("%d",&c);
m=candp(c,d,n);
printf("the cipher is %d\n",m);break;
}
getch();
}
求正确的RSA加密解密算法C语言的，多谢。
//rsa.h
#include<stdio.h>
#define MAX_NUM 63001
#define MAX_PRIME 251
//! 返回代码
#define OK 100
#define ERROR_NOEACHPRIME 101
#define ERROR_NOPUBLICKEY 102
#define ERROR_GENERROR 103
unsigned int MakePrivatedKeyd( unsigned int uiP, unsigned int uiQ );
unsigned int GetPrivateKeyd( unsigned int iWhich );
unsigned int MakePairkey( unsigned int uiP, unsigned int uiQ, unsigned int uiD );
unsigned int GetPairKey( unsigned int d, unsigned int e );
void rsa_encrypt( int n, int e, char *mw, int mLength, int *cw );
void rsa_decrypt( int n, int d, int *cw, int cLength, char *mw );
void outputkey();
//rsa.c
#include "rsa.h"
//! 保存私钥d集合
struct pKeyset
{
unsigned int set[ MAX_NUM ];
unsigned int size;
}pset;
//! 保存公、私钥对
struct pPairkey
{
unsigned int d;
unsigned int e;
unsigned int n;
}pairkey;
// 名称：isPrime
// 功能：判断两个数是否互质
// 参数：m: 数a; n: 数b
// 返回：m、n互质返回true; 否则返回false
bool isPrime( unsigned int m, unsigned int n )
{
unsigned int i=0;
bool Flag = true;
if( m<2 || n<2 )
return false;
unsigned int tem = ( m > n ) ? n : m;
for( i=2; i<=tem && Flag; i++ )
{
bool mFlag = true;
bool nFlag = true;
if( m % i == 0 )
mFlag = false;
if( n % i == 0 )
nFlag = false;
if( !mFlag && !nFlag )
Flag = false;
}
if( Flag )
return true;
else
return false;
}
// 名称：MakePrivatedKeyd
// 功能：由素数Q、Q生成私钥d
// 参数：uiP: 素数P; uiQ: 素数Q
// 返回：私钥d
unsigned int MakePrivatedKeyd( unsigned int uiP, unsigned int uiQ )
{
unsigned int i=0;
//! 得到所有与z互质的数( 私钥d的集合 )
unsigned int z = ( uiP -1 ) * ( uiQ -1 );
pset.size = 0;
for( i=0; i<z; i++ )
{
if( isPrime( i, z ) )
{
pset.set[ pset.size++ ] = i;
}
}
return pset.size;
}
// 名称：MakePairKey
// 功能：生成RSA公、私钥对
// 参数：uiP: 素数P; uiQ: 素数Q; uiD: 私钥d
// 返回：错误代码
unsigned int MakePairkey( unsigned int uiP, unsigned int uiQ, unsigned int uiD )
{
bool bFlag = true;
unsigned int i = 0, e;
unsigned int z = ( uiP-1 ) * ( uiQ-1 );
unsigned int d = pset.set[uiD];
//d=uiD;
if( !isPrime( z, d ) )
return ERROR_NOEACHPRIME;
for( i=2; i<z; i++ )
{
if( (i*d)%z == 1 )
{
e = i;
bFlag = false;
}
}
if( bFlag )
return ERROR_NOPUBLICKEY;
if( (d*e)%z != 1 )
ERROR_GENERROR;
pairkey.d = d;
pairkey.e = e;
pairkey.n = uiP * uiQ;
return OK;
}
// 名称：GetPairKey
// 功能：对外提供接口，获得公、私钥对
// 参数：uiP: 素数P; uiQ: 素数Q; uiD: 私钥d
// 返回：
unsigned int GetPairKey( unsigned int d, unsigned int e )
{
d = pairkey.d;
e = pairkey.e;
return pairkey.n;
}
// 名称：GetPrivateKeyd
// 功能：对外提供接口，由用户选择ID得以私钥d
// 参数：iWhich: 用户选择私钥d的ID
// 返回：私钥d值
unsigned int GetPrivateKeyd( unsigned int iWhich )
{
if( pset.size > iWhich )
return pset.set[ iWhich ];
else
return 0;
}
// 名称：rsa_encrypt
// 功能：RSA加密运算
// 参数：n: 公钥n; e: 公钥e; mw: 加密明文; iLength: 明文长度; cw: 密文输出
// 返回：无
void rsa_encrypt( int n, int e, char *mw, int mLength, int *cw )
{
int i=0, j=0;
__int64 temInt = 0;
for( i=0; i<mLength; i++ )
{
temInt = mw[i];
if( e!=0 )
{
for( j=1; j<e; j++ )
{
temInt = ( temInt * mw[i] ) % n;
}
}
else
{
temInt = 1;
}
cw[i] = (int)temInt;
}
}
// 名称：rsa_decrypt
// 功能：RSA解密运算
// 参数：n: 私钥n; d: 私钥d; cw: 密文; cLength: 密文长度; mw: 明文输出
// 返回：无
void rsa_decrypt( int n, int d, int *cw, int cLength, char *mw )
{
int i=0, j=-1;
__int64 temInt = 0;
for( i=0; i<cLength/4; ++i )
{
mw[i] = 0;
temInt = cw[i];
if( d != 0 )
{
for( j=1; j<d; j++ )
{
temInt = (__int64)( temInt * cw[i] ) % n;
}
}
else
{
temInt = 1;
}
mw[i] = (char)temInt;
}
}
void outputkey()
{
printf("PublicKey(e,n): (%d,%d)\n",pairkey.e,pairkey.n);
printf("PrivateKey(d,n): (%d,%d)\n",pairkey.d,pairkey.n);
}
//main.c
// 工程：RSA
// 功能：RSA加、解密文件
// 作者：jlcss|ExpNIS
#include<stdio.h>
#include<afxwin.h>
#include<math.h>
#include"rsa.h"
#define DECRYPT_FILE "RSA加密密文.txt"
#define ENCRYPT_FILE "RSA解密明文.txt"
//! 约束文件最大2M
#define MAX_FILE 1024*1024*2
// 名称：usage
// 功能：帮助信息
// 参数：应用程序名称
// 返回：提示信息
void Usage( const char *appname )
{
printf( "\n\tusage:rsa -k 素数P 素数Q\n" );
printf( "\tusage: rsa -e 明文文件 公钥e 公钥n\n" );
printf( "\tusage: rsa -d 密文文件 私钥d 私钥n\n" );
}
// 名称：IsNumber
// 功能：判断数字字符数组
// 参数：strNumber:字符数组
// 返回：数字字组数组返回true，否则返回false;
bool IsNumber( const char *strNumber )
{
unsigned int i;
if( !strNumber )
return false;
for ( i = 0; i < strlen(strNumber); i++ )
{
if ( strNumber[i] < '0' || strNumber[i] > '9' )
return false;
}
return true;
}
// 名称：IsPrimeNumber
// 功能：判断素数
// 参数：num: 输入整数
// 返回：素数返回true，否则返回false;
bool IsPrimeNumber( unsigned int num )
{
unsigned int i;
if( num <= 1 )
return false;
unsigned int sqr = (unsigned int)sqrt((double)num);
for( i = 2; i <= sqr; i++ )
{
if( num % i == 0 )
return false;
}
return true;
}
// 名称：FileIn
// 功能：读取磁盘文件到内存
// 参数：strFile:文件名称；inBuff:指向文件内容缓冲区
// 返回：实际读取内容大小(字节)
int FileIn( const char *strFile, unsigned char *inBuff )
{
int iFileLen=0, iBuffLen=0;
//! 打开密文文件
CFile file( strFile, CFile::modeRead );
iFileLen = ( int )file.GetLength();
if( iFileLen>MAX_FILE )
{
printf( "文件长度不能大于 %dM,!\n", MAX_FILE/(1024*1024) );
goto out;
}
iBuffLen = iFileLen;
inBuff = new unsigned char[iBuffLen];
if( !inBuff )
goto out;
ZeroMemory( inBuff, iBuffLen );
file.Read( inBuff, iFileLen );
file.Close();
out:
return iBuffLen;
}
// 名称：FileOut
// 功能：加/解密结果输出到当前目录磁盘文件中
// 参数：strOut指向输出字符缓冲区，输出大小len，strFile为输出文件
// 返回：无
void FileOut( const void *strOut, int len, const char *strFile )
{
//! 输出到文件
CFile outfile( strFile , CFile::modeCreate | CFile::modeWrite );
outfile.Write( strOut , len );
outfile.Close();
}
// 名称：CheckParse
// 功能：校验应用程序入口参数
// 参数：argc等于main主函数argc参数，argv指向main主函数argv参数
// 返回：若参数合法返回true，否则返回false
// 备注：简单的入口参数校验
bool CheckParse( int argc, char** argv )
{
bool bRes = false;
if( argc != 4 && argc != 5 )
goto out;
if( argc == 4 && argv[1][1] == 'k' )
{
//! 生成公、私钥对
if( !IsNumber( argv[2] ) ||
!IsNumber( argv[3] ) ||
atoi( argv[2] ) > MAX_PRIME ||
atoi( argv[3] ) > MAX_PRIME )
goto out;
}
else if( (argc == 5)&&(argv[1][1] == 'e' || argv[1][1] == 'd') )
{
//! 加密、解密操作
if( !IsNumber( argv[3] ) ||
!IsNumber( argv[4] ) ||
atoi( argv[3] ) > MAX_NUM ||
atoi( argv[4] ) > MAX_NUM )
goto out;
}
else
Usage(*argv);
bRes = true;
out:
return bRes;
}
// 名称：kOption1
// 功能：程序k选项操作：由素数P、Q生成私钥d集合
// 参数：uiP: 程序入口参数P; uiQ: 程序入口参数Q
// 返回：执行正确返回生成私钥数目，否则返回0
unsigned int kOption1( unsigned int uiP, unsigned int uiQ )
{
unsigned int uiRes = 0;
if( !IsPrimeNumber( uiP ) )
{
printf( "P输入错误，P必须为(0, %d]素数", MAX_PRIME );
return uiRes;
}
if( !IsPrimeNumber( uiQ ) )
{
printf( "Q输入错误，Q必须为(0, %d]素数", MAX_PRIME );
return uiRes;
}
if( uiP == uiQ )
{
printf( "素数P与素数Q相同，很容易根据公钥n开平方得出素数P和Q，这种加密不安全，请更换素数!\n" );
return uiRes;
}
printf( "正在生成私钥d集合......\n" );
uiRes = MakePrivatedKeyd( uiP, uiQ );
return uiRes;
}
//! 程序主函数
int main( int argc, char **argv )
{
unsigned int p , q , d , n , e;//two prime p & q, public key(n, e), private key(n, d)
CheckParse(argc, argv );
d=4828; //uid
if(argc == 4)
{
p = atoi( argv[2] );
q = atoi( argv[3] );
MakePrivatedKeyd(p, q);
MakePairkey(p, q, d );
outputkey();
}
else if(argc == 5)
{
char FileName[20];
strcpy(FileName, argv[2]);
int len;
if(argv[1][1] == 'e' )
{
unsigned char *inBuffer=(unsigned char *)malloc(MAX_FILE); //输入缓冲区
int *cw=(int *)malloc(MAX_FILE);
len = FileIn(FileName , inBuffer);
e = atoi(argv[3]);
n = atoi(argv[4]);
rsa_encrypt( n, e, (char *)inBuffer, len, cw );
FileOut( cw, 4*len, DECRYPT_FILE );
}
else if(argv[1][1] == 'd')
{
char *Buffer=(char *)malloc(MAX_FILE); //输入缓冲区
int *cw=(int *)malloc(MAX_FILE);
len = FileIn(FileName,(unsigned char *)cw);
d = atoi(argv[3]);
n = atoi(argv[4]);
rsa_decrypt( n, d, cw, len, Buffer );
FileOut( Buffer, len/4, ENCRYPT_FILE );
}
}
return 0;
}
