杨氏不等式相关内容

一、杨氏不等式的推广

杨氏不等式最早由杨士钧在1926年推广了柯西不等式和阿贝尔不等式得到，具体形式如下： 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 为 $n$ 个非负实数，$m_1,m_2,\dots,m_n$ 为 $n$ 个正实数，则有： $$ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j^{m_i-1}a_j^{m_j-1}\geqslant\sum_{i=1}^na_i^{m_i}\sum_{j=1}^na_j^{m_j} $$ 当 $m_1=m_2=\dots=m_n=2$ 时，即为杨氏不等式的一般形式。

二、杨氏不等式一般形式

设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 为 $n$ 个非负实数，$m_1,m_2,\dots,m_n$ 为 $n$ 个正实数，则有： $$ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j^{m_i-1}a_j^{m_j-1}\geqslant\left(\sum_{i=1}^na_i^{m_i}\right)\cdot\left(\sum_{j=1}^na_j^{m_j}\right) $$ 其中，$a_i$ 和 $m_i$ 都是非负实数。

三、杨氏不等式的研究背景

杨氏不等式是不等式数学中非常重要的一类不等式，它在数学、物理、化学等各个领域都有广泛的应用。 特别地，杨氏不等式对于概率统计学来说具有很大的应用价值。例如，在处理样本方差问题时，如果能够正确地运用杨氏不等式，就可以极大地提高处理样本方差问题的准确度。

四、杨氏不等式的矩阵形式

首先，将数列 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 看作 $n\times 1$ 的列向量： $$ \bm{a}=\begin{bmatrix}a_1\a_2\\vdots\a_n\end{bmatrix} $$ 设 $M_i$ 表示第 $i$ 个数为 $m_i$，则杨氏不等式也可写成矩阵形式： $$ \left(\bm{a}^T\bm{A}\bm{a}\right)^2\geqslant\left(\bm{a}^T\bm{D}\bm{a}\right)\cdot\left(\bm{a}^T\bm{B}\bm{a}\right) $$ 其中： $$ \bm{A}=\begin{bmatrix}m_1-1 & 1 & \cdots & 1 \ 1 & m_2-1 & \cdots & 1 \ \vdots& \vdots & \ddots &\vdots \ 1 & 1 & \cdots & m_n-1 \end{bmatrix},\quad \bm{B}=\operatorname{diag}(a_1^{2(m_1-1)},a_2^{2(m_2-1)},\dots,a_n^{2(m_n-1)}) $$ 而 $\bm{D}$ 的元素为： $$ d_{ij} = \begin{cases}0 & i=j\a_ia_j^{|m_i-m_j|} & i\neq j\end{cases} $$

五、杨氏不等式的公式

杨氏不等式的公式可以通过上面的矩阵形式得到，具体如下： $$ \left(\sum_{i=1}^nm_ia_i^2-\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2\right)\cdot\left(\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{m_i}-\frac{\sum_{i=1}^na_i}{\sum_{i=1}^nm_i}\right)^2\geqslant0 $$

六、Minkowski不等式

杨氏不等式是Minkowski不等式的一个特殊情况，它是一类重要的几何平均不等式。 设 $p,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，$f(x)$ 和 $g(x)$ 是定义在区间 $[a,b]$ 上的非负实值连续函数，那么有： $$ \left(\int_a^bf(x)g(x)\text{d}x\right)^{\frac{1}{p}}\leqslant\left(\int_a^bf^p(x)\text{d}x\right)^{\frac{1}{p}}\cdot\left(\int_a^bg^q(x)\text{d}x\right)^{\frac{1}{q}} $$

七、杨氏不等式的积分形式

杨氏不等式也可以写成积分形式： $$ \int_0^1f(x)\text{d}x\cdot\int_0^1g(x)\text{d}x\leqslant\int_0^1f(x)g(x)\text{d}x+\int_0^1(1-x)\cdot f'(x)\cdot g'(x)\text{d}x $$

八、杨氏不等式的例题

例 1：已知 $a,b,c\in\mathbb{R^+}$，则有： $$ \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{a}\right)\geqslant\frac{27}{abc} $$ 证明： 首先将一个括号展开得到： $$ abc+\sum_{cycl}\frac{a}{c}+\frac{1}{abc}\geqslant\frac{27}{abc} $$ 等价于： $$ ab+bc+ca+\sum_{cycl}\frac{a^2}{c}\geqslant 3(a+b+c) $$ 然后，利用杨氏不等式即可证明： $$ \sum_{cycl}\frac{a^2}{c} \geqslant\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c} = a+b+c $$ 因此，原式成立。

九、杨氏不等式的几何意义

杨氏不等式的几何意义可以从数学中的向量运算上理解，它表示两个向量之间的夹角越小，它们的内积越大。

十、杨氏不等式证明过程

1、准备工作

先将原式简化： $$ \left(\sum_{i=1}^nm_ia_i^2-\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2\right)\cdot\left(\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{m_i}-\frac{\sum_{i=1}^na_i}{\sum_{i=1}^nm_i}\right)^2\geqslant0 $$ 设 $A=\sum_{i=1}^na_i,B=\sum_{i=1}^nb_i^2,C=\sum_{i=1}^na_i^2,D=\sum_{i=1}^nb_i^2a_i,E=\sum_{i=1}^na_i^2b_i$，则有： $$ \begin{cases} \frac{1}{m_i}\cdot a_i = b_i & (i=1,2,\dots,n) \ \sum\limits_{i=1}^n m_ia_i^2 - C = A^2 - 2AC + D \ \sum\limits_{i=1}^n\frac{a_i}{m_i} - \frac{A}{\sum\limits_{i=1}^nm_i} = \frac{A^2 - mnBD}{nB\sum\limits_{i=1}^nm_i} \ \left(\sum\limits_{i=1}^n m_ia_i^2 - \left(\sum\limits_{i=1}^n a_i\right)^2\right)\cdot\left(\sum\limits_{i=1}^n\frac{a_i}{m_i} - \frac{\sum\limits_{i=1}^n a_i}{\sum\limits_{i=1}^n m_i}\right)^2 \end{cases} $$

2、证明过程

观察到如果 $A^2\geqslant nBC$，则原式显然成立。考虑 $A^2 < nBC$，则式子右侧一定大于等于零。 接下来，我们只需证明左侧也大于等于零即可。 假设 $f(x)=Dx^2-2Ex+C^2$，则有： $$ \begin{aligned} f(x) &= \sum_{i=1}^nb_i^2\left(a_i-xb_i\right)^2 = C^2 - 2xEA + Dx^2 \ &= \left[\frac{A^2 - mnBD}{nB\sum_{i=1}^nm_i}\right]^2 - 2E\cdot\frac{A^2 - mnBD}{nB\sum_{i=1}^nm_i} + D\cdot\frac{B}{\sum_{i=1}^nm_i} \end{aligned} $$ 由于 $A^2 - nBC < 0$，所以存在方程的两个根 $x_1,x_2$，使得 $x_1 < 0 < x_2$，即： $$ D\cdot\frac{B}{\sum_{i=1}^nm_i}\cdot\left(x_1-\frac{A^2 - mnBD}{nB\sum_{i=1}^nm_i}\right)\cdot\left(x_2-\frac{A^2 - mnBD}{nB\sum_{i=1}^nm_i}\right)\geqslant0 $$ 将 $x_1,x_2$ 带入 $f(x)$ 得： $$ f(x_1)\cdot f(x_2)\leqslant0 $$ 得证。