经验贝叶斯：理论和实践

一、优势与应用

经验贝叶斯（Empirical Bayes）是贝叶斯统计学中的一种技术，可以简单理解为先求出样本数据的参数分布，再以该分布作为一个先验分布，对参数进行贝叶斯推断。相比于传统贝叶斯统计学，经验贝叶斯有以下优势：

1、可以有效利用少量数据进行推断，尤其是单变量的情况下；

2、可以通过减小过分个体化（overfitting）的风险来提升模型性能；

3、可以在不知道真实参数的情况下进行正确推断，且偏差较小。

经验贝叶斯在实际应用中也有多种场景。例如在药物开发中，需要分析哪些化合物是否能够作为候选药物进行后续研究；在机器学习中，需要对超参数进行寻优等等。

二、算法原理

经验贝叶斯分为两个步骤：

1、先对似然函数进行估计，得到先验分布；

2、再将先验分布作为先验知识进行贝叶斯推断，得到后验分布。

其中，对似然函数进行估计是经验贝叶斯的核心之一。常用的方法有James-Stein估计和贝叶斯分层模型。以下是贝叶斯分层模型的一个例子：

from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import load_diabetes
from sklearn.linear_model import Ridge

X, y = load_diabetes(return_X_y=True)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=42)

# 对训练集进行点估计
ridge_reg = Ridge(alpha=1)
ridge_reg.fit(X_train, y_train)
theta_hat = ridge_reg.coef_

# 对测试集进行先验似然估计，得到先验分布
from scipy.stats import norm

s_hat = ((y_train - X_train.dot(theta_hat)) ** 2).mean() ** 0.5
theta_prior = norm(0, s_hat)

# 进行后验推断
import numpy as np

theta_post = []
for j in range(X_train.shape[1]):
    credible_interval = (0.025, 0.975)
    s = ((y_train - X_train[:,j].dot(theta_hat[j])) ** 2).mean() ** 0.5
    MLE = Ridge(alpha=0).fit(X_train[:, j].reshape(-1, 1), y_train).coef_
    se = s / ((X_train[:,j].shape[0] - 1) ** 0.5)
    t = MLE / se
    p = 2 * norm.sf(abs(t))
    alpha_min = norm.ppf(credible_interval[0], MLE, se)
    alpha_max = norm.ppf(credible_interval[1], MLE, se)
    prior_min = theta_prior.ppf(credible_interval[0])
    prior_max = theta_prior.ppf(credible_interval[1])
    post_alpha = (alpha_min, alpha_max)
    post_prior = (prior_min, prior_max)
    theta_post.append((MLE, se, p, post_alpha, post_prior))
 

三、实例应用

下面以一个简单的案例为例，演示经验贝叶斯的具体应用：

问题：假设我们有500篇文章，每篇文章的词数都不一样，现在需要计算每个词在所有文章中的出现频率。其中200篇文章已经计算好了各个词的频率作为参考值，如何通过这200篇文章的数据来估计其他文章的词频？

解决方案：

1、提取参考文章中的所有词，统计每个词出现在参考文章中的总次数（count_all），以及每篇文章中出现该词的总次数（count_in_doc）；

2、基于参考文章的信息，计算每个词的出现概率：

对于每个词，假设其在参考文章中的出现概率服从Beta（a,b）分布，

a和b的取值可以根据具体场景确定，例如a=b=1或a=b=0.5

然后，可以结合参考文章的数据来估计每个词的出现概率。同时，也可以通过计算每个词在当前文章中出现的次数，推断出其在该文章中的出现概率，以及后验概率区间等。

import numpy as np
from scipy.stats import beta

class EmpiricalBayes:
    def __init__(self, a=1, b=1):
        self.a = a
        self.b = b

    def fit(self, counts):
        mean_hat = counts.mean()
        var_hat = counts.var()
        alpha_hat = (mean_hat ** 2) / var_hat - mean_hat
        beta_hat = (1 - mean_hat) * mean_hat / var_hat - mean_hat / mean_hat
        self.alpha_hat = alpha_hat
        self.beta_hat = beta_hat
        self.dist = beta(alpha_hat + self.a, beta_hat + self.b)

    def predict(self, counts, confidence=0.95):
        std_hat = counts.std()
        mu_hat = counts.mean()
        t_val = stats.t.ppf((1 + confidence)/2, len(counts)-1)
        se_hat = std_hat / np.sqrt(len(counts))
        ci_low = mu_hat - t_val * se_hat
        ci_upp = mu_hat + t_val * se_hat
        post_a = alpha_hat + np.sum(counts)
        post_b = beta_hat + np.sum([len(x) - c for x, c in zip(counts, count_in_doc)])
        return dist.mean(), dist.interval(confidence), post_a / (post_a + post_b)
        
counts_all = {}
count_in_doc = []
for i in range(n):
    words = articles[i]
    count = Counter(words)
    count_in_doc.append(count)
    for key, value in count.items():
        counts_all[key] = counts_all.get(key, 0) + value

model = EmpiricalBayes()
counts = np.array([count_in_doc[idx][key] for idx, key in enumerate(words)])
model.fit(counts)
p_hat, interval, post = model.predict(counts_all[key])

四、小结

本文针对经验贝叶斯的理论和实践进行了详细的介绍。从优势与应用、算法原理、实例应用等多个方面，深入阐述了经验贝叶斯的基本思想和应用场景。在实际应用中，可以根据具体问题来选择合适的方法，以此来实现对模型的优化和性能提升。